İki Vektör Arasındaki Açı Nasıl Hesaplanır

Matematikçiler ve grafik programlama işiyle uğraşanlar genelde verilen iki vektörün arasındaki açıyı bulmaya çalışmaktadır. Bu işlemleri iki boyutta anlamak kolay olsa da formülleri tam olarak oturtmak detaylı bir inceleme yapılması gerekebilir. Fizik alanında çalışan biri de iki vektör  arası açıyı hesaplamak isteyebilir. Siz de bunu öğrenmek istiyorsanız en pratik ve en açıklayıcı yol için aşağıdaki adım adım işlemleri takip edin.

Bölüm1: İki Vektör Arasındaki Açıyı Bulmak

1. Kosinüs formülünü hatırlayalım: İki vektör arasındaki θ açısını bulabilmek için vektörlerin kosinüs  teoremi kullanılır.. Aşağıda bu formül hakkında detaylı bilgiyi bulacaksınız.
   • cosθ = (u · v) / (|| u || || v ⃗ ||)
   • Burada bilindiği üzere || u || sembolü ‘u’ vektörünün uzunluğu  aynı şekilde || v ⃗ || sembolü de ‘v’ vektörünün uzunluğu anlamına gelmektedir.
   • (u • v) ise ‘u’ ve ‘v’ vektörlerinin skaler çarpımıdır.

2. Vektörleri tanımlayalım. Vektörleri  iki boyut bileşenleriyle tanımlayın. Vektörün uzunluğunu (büyüklüğünü) bulmayı biliyorsanız burada anlatılacak olan adımların bazılarını direk atlayabilirsiniz.
   • Örnek: ilk vektörünüz  (U =3i + 3j ) ve ikinci vektörünüz de ( v = 0i + 4j = 4j ) olsun.
   • Bu vektörlerinizi diğer formla da yazabilirsiniz. İlk vektör u = (3,3) , ikinci vektör v = (0,4) şeklinde yazılabilir.

3. Vektörlerin uzunluğunu hesaplayalım: Vektörlerin uzunluğunu hesaplarken  vektörün( x )bileşenini ve( y )bileşenini birbirine dik ve vektörün kendisini de bir hipotenüsmüş gibi bir dik üçgen hayal edin.Ve bu dik üçgende Pisagor teoremini kullanarak vektörün boyunu hesaplayalım. Bu formül sayesinde vektörlerin uzunluklarını kolayca bulmuş olursunuz.
   • || u ||²=u₁² + u₂² . Eğer bir vektörün ikiden fazla bileşeni varsa bu durumda u₃² + u₄²+… şeklinde formülü yazmaya devam edin.
   • Vektör iki boyutluysa: ||u||= √(u₁² + u₂²)
   • Birim örneğimiz üzerinden devam edersek:
   • ||u||= √(3²+ 3²) = √(18) = 3√2. 
   • ||v||= √(0²+ 4²) = √(16) = 4 olarak bulunmuş olur.

4. Bu iki vektörün skaler çarpımını hesaplayın. Bu aynı zamanda nokta çarpımı olarak da adlandırılmaktadır. Skaler çarpımı deyince yine bildiğimiz matematiksel çarpımdan başka bir şey değildir.
   • Matematiksel olarak u · v = u₁v₁ + u₂v_{2 ,}  u = (u₁, u₂) olmak üzere. Vektörün birden fazla bileşeni olması durumunda + u₃v₃ + u₄v₄… şeklinde eklemeye devam edin.
   • ilk vektörümüz (U =3i + 3j ) ve ikinci vektörünüz de ( v = 0i + 4j = 4j ) olduğundan işleme devam edersek:
   • u · v = u₁v₁+ u₂v₂= (3)(0) + (3)(4) = 0 + 12 = 12 . Bu u⃗ and v⃗. lerinin nokta çarpımıdır.

5. Şimdi de kosinüs teoreminde bulduğumuz sonuçları yazalım. Vektörlerin uzunluklarını ve skaler çarpımlarını kosinüs teoreminde yerine yazın.

• cosθ = (u · v) / (||u||||v ⃗||)
• cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2

6. Ve kosinüse bağlı olarak açıyı bulun. Bu açıyı bulabilmek için hesap makinenizden arc cos veya cos-1 işlevini kullanabilirsiniz.

• cosθ = √2 / 2  sonucuyla hesap makinenize arccos(√2 / 2  ) girin. Sonuç olarak θ açısı;
•  θ = ^π/₄ veya 45º Olarak bulunur.

Kosinüs Açı Formülünü Tanımlama

İki vektör arasındaki açıyı hesaplarken kosinüs teoreminden faydalanmamızın sebebi daha anlaşılır ve daha pratik olmasından dolayıdır.Şimdi de adım adım kosinüs teoremini açıklayalım.

1. Kosinüs teoreminin kullanım amacını kavrayın. Eğer kosinüsü kullanmadan bu vektörler arasındaki açıyı hesaplamak için epey uzun işlemler yapmak gerekecekti.Kosinüs formülü sayesinde vektörlere geometrik bir görünüm kazandırarak iki vektör arası açıyı rahatça bulabildik.

2. Kosinüs teoremini gözden geçirin. Kenarları ‘a,b ‘ve hipotenüsü ‘c’ olan sıradan bir dik üçgen ele alın.Ve bu üçgenle kosinüs teoremini c² = a² + b²-2abcos(θ)  oluşturun.

3. Bir dik üçgen oluşturacak şekilde  a⃗ ve  b⃗  vektörünü aynı yönde olmayacak şekilde aynı başlangıç noktasından birbirine dik biçimde çizin.Ve bu iki vektörü bir c⃗ vektörüyle hipotenüs olarak bağlayın. Sonra vektörel olarak bir eşitlik oluşturun. b⃗ + c⃗ = a⃗      >>    c⃗ = a⃗ – b⃗  Şeklinde vektörel bir eşitlik yazın. 

4. Şimdi bu üçgen için kosinüs teoremini yazın.Birbirine dik olarak tanımladığınız  a⃗ ve  b⃗ vektörünü kosinüs teoreminde yerine yazın.

• ||(a – b)||² = ||a||² + ||b||² – 2||a|| ||b||cos(θ)Görüldüğü üzere vektörlerimizin uzunluğunu alarak kosinüs teoreminde  işleme tabi tuttuk.Çünkü skaler olarak işlem gerçekleştirdiğimiz için vektörel niceliğimizin uzunluğunu alarak skalere dönüştürmüş olduk.

5. Şimdi bu skaler kosinüs teoremini vektörel olarak ifade edin.Bir vektörün uzunluğunun o vektörün kendisiyle çarpımına eşit olduğunu hatırlayın.a⃗ · a⃗ = ||a||^{2 ‘}c ‘ vektörümüzün uzunluğunu vektörel olarak ifade edersek‘c ‘vektörümüzü hatırlayın;c⃗ = a⃗ – b⃗    idi.

• (a⃗ – b⃗) · (a⃗ – b⃗) = a⃗ · a⃗ + b⃗ · b⃗ – 2||a|| ||b||cos(θ)Kosinüs teoremini vektörel olarak ifade etmiş olduk.

6. Matematiksel olarak kosinüs teoremindeki işlemleri yapın.

• a⃗ · a⃗ – a⃗ · b⃗ – b⃗ · a⃗ + b⃗ · b⃗ = a⃗ · a⃗ + b⃗ · b⃗ – 2||a||||b||cos(θ)
• – a⃗ · b⃗ – b⃗ · a⃗ = -2||a||||b||cos(θ)
• -2(a⃗ · b⃗) = -2||a||||b||cos(θ)
• a⃗ · b⃗ = ||a||||b||cos(θ)

Video:

Kaynak: 1 (Erişim: Erişim: 27 Mayıs, 2020) 2 (Erişim: 27 Mayıs, 2020)