Z skoru yardımıyla elinizde bulunan örnek kümedeki sayısal verilerin, ortalamanın ne kadar altında ya da üstünde olduğunu görebilirsiniz. Bunun için ortalama, varyans ve standart sapma gibi değerlere ihtiyacınız var. Z skorunu hesaplamak için önce örnek kümedeki bir değer ile ortalama arasındaki fark alınır. Daha sonra elde edilen sonuç standart sapmaya bölünür. Baştan sona pek çok adım varmış gibi görünse de aslında oldukça kolay bir işlemdir.
Bölüm 1: Ortalama Hesaplama
1) Örnek kümenizi inceleyin. Ortalamayı hesaplayabilmek için kümeniz hakkında birkaç bilgiyi bilmeniz gerekiyor.
- Örnek kümenizde kaç sayı olduğunu bilmeniz gerekiyor.
- Bu sayıların neyi ifade ettiğiniz bilmeniz gerekiyor. Sınıftaki öğrencilerin sayısı mı, bir bahçedeki ağaçların boyu mu?
- Sayılardaki değişime bakın. Sayılar arasındaki fark büyük mü yoksa küçük mü?
2) Verilerinizi toparlayın. Hesaplamalara başlamak için örnek kümenizdeki bütün verilere ihtiyacınız var.
- Ortalama değer, kümenizdeki bütün verilerin ortalamasıdır.
- Ortalamayı hesaplamak için tüm verileri toplayın ve veri sayısına bölün.
- Matematikte n, veri sayısını ifade eder. Örneğin örnek kümeniz (7, 8, 8, 7.5, 9) olsun. Bu durumda n=5 olacaktır.
3) Örnek kümenizdeki sayıları toplayın. Bu işlem, ortalama hesaplamanın ilk adımıdır.
- Örneğin örnek kümeniz (7, 8, 8, 7.5, 9) Bu durumda örnek kümenizdeki verilerin toplamı 7 + 8 + 8 + 7.5 + 9 = 39.5 olacaktır.
- İşlemi doğru yaptığınızdan emin olun.
4) 3. adımda bulduğunuz toplamı n (veri sayısı)’e bölün. Bu adımın sonunda ortalamayı bulmuş olacaksınız.
- Örneğin örnek kümeniz (7, 8, 8, 7.5, 9) olsun.
- Bu durumda n=5 olacaktır.
- Kümenizdeki verilerin toplamı 7 + 8 + 8 + 7.5 + 9 = 39.5 idi.
- Bu toplamı n’e bölerseniz: Ortalama = (7 + 8 + 8 + 7.5 + 9) / 5 = 7.9 olacaktır.
- Ortalama genellikle “μ” sembolü ile gösterilir.
- μ=7.9
Varyans Hesaplama
1) Varyansın ne olduğunu bilin. Varyans, kümenizdeki verilerin ortalamadan ne kadar uzakta bulunduğunu gösteren bir sayıdır.
- Bu hesaplama size, verilerinizin ne kadar uzağa dağıldığı hakkında fikir verecektir.
- Düşük varyanslı örnek kümeler, ortalama değer çevresinde seyreden verilere sahiptir.
- Yüksek varyanslı örnek kümeler ise ortalama değerden uzak seyreden verilere sahiptir.
- Varyans genellikle 2 veri kümesinin ya da örnek kümenin dağılımlarını karşılaştırmada kullanılır.
2) Bölüm 1’de bulduğunuz ortalamayı (μ), kümenizdeki her bir veriden çıkarın. Bu işlem size, kümenizdeki her bir verinin, ortalamadan ne kadar uzak olduğu hakkında bilgi verir.
- Örnek kümemiz için ortalamayı 7.9 bulmuştuk.
- 7 – 7.9 = -0.9
- 8 – 7.9 = 0.1
- 8 – 7.9 = 0.1
- 5 – 7.9 = -0.4
- 9 – 7.9 = 1.1
- Bu işlemi doğru yaptığınızdan emin olun. Dilerseniz hesap makinesi kullanabilirsiniz.
3) Bir önceki adımda bulduğunuz tüm farkların karesini alın. Varyansı bulmak için bu sayılara ihtiyacınız olacak.
- Örnek küme için ortalamamız 7.9 idi ve biz bu sayıyı her bir veriden çıkardık ve -0.9, 0.1, 0.1, -0.4 ve 1.1 bulduk.
- Şimdi bu sayıların karesini alacağız:
- (-0.9)2 = 0.81
- (0.1)2 = 0.01
- (0.1)2 = 0.01
- (-0.4)2 = 0.16
- (1.1)2 = 1.21
- Sonuç olarak elimizde 0.81, 0.01, 0.01, 0.16 ve 0.21 sayıları var.
- Bir sonraki adıma geçmeden bu işlemi kontrol edin ve doğruluğundan emin olun.
4) En son elde ettiğiniz sayıları toplayın. Bu işlem “kareler toplamı” olarak adlandırılır.
- Örnek kümemiz için verilerin karesi: 81, 0.01, 0.01, 0.16 ve 0.21 idi.
- Şimdi bu sayıları toplayalım: 0.81 + 0.01 + 0.01 + 0.16 + 0.21 = 2.2
- Bu durumda kareler toplamı 2.2 olmakta.
- Bir sonraki adıma geçmeden bu işlemi kontrol edin ve doğruluğundan emin olun.
5) Kareler toplamını (n-1)’e bölün. Bu işlemin sonunda varyansı bulacaksınız.
- Örnek kümemiz için kareler toplamı 2.2 idi.
- n-1 = 5-1 = 4 olacak.
- 2 / 4 = 0.55
- Örnek kümemiz için varyans 0.55.
Standart Sapma Hesaplama
1) Standart sapmanın ne olduğunu bilin.
- Varyans, kümenizdeki verilerin ortalamadan ne kadar uzakta bulunduğudur.
- Standart sapma(σ) ise verilerin küme içinde nasıl dağıldığıdır.
2) Varyansın karekökünü alın. Bu adım size standart sapmayı verecektir.
- Örnek kümemizde varyans 0.55 idi.
- Bu durumda standart sapma = = 0.741619848709566. Bu işlem sonucunda ondalık kısmı çok uzun olan sayılar elde edersiniz. Binde birler basamağına kadar tutup, sonucu yuvarlayabilirsiniz. Yani 0.742 ya da 0.74 sonuçları gibi.
- Örnek kümemiz için standart sapma 0.74.
3) Ortalama, varyans ve standart sapmayı tekrar gözden geçirin. Bu sayede işlemlerinizin sağlamasını yapabilirsiniz hem de standart sapmayı doğru hesapladığınızdan emin olursunuz. Çünkü bir sonraki adım son adım olan Z skoru hesaplamadır.
Z Skoru Hesaplama
1) Bir Z skoru hesaplanırken şu formül takip edilir: z = (X – μ) / σ
- Bu formül sayesinde herhangi bir veri için z skorunu hesaplayabilirsiniz.
- Bu formülde
- z = z skoru
- X = hesaplamak istenen veri
- μ = ortalama (örnek kümede 7.9 idi)
- σ = standart sapma (örnek kümede 0.74 idi) demektir.
2) Öncelikle incelemek istediğiniz veriden ortalama değeri çıkarın. (X – μ)
- Örneğin, örnek kümemizdeki 7.5 verisini incelemek istediğimizde 7.5 – 7.9 işlemini yapmamız gerekir.
- 5 – 7.9 = -0.4
- Devam etmeden işlem doğruluğundan emin olun.
3) Bulduğunuz sonucu standart sapmaya bölün. (X – μ) / σ. Bu adımın sonunda z skorunu bulmuş olacaksınız.
- Örnek kümemizde, 7.5 verisi için z skoru bulmak istedik.
- İncelemek istediğimiz, yani z skorunu bulmak istediğimiz, veriden ortalamayı çıkardık: 7.5 – 7.9 = -0.4
- Standart sapma 0.74 idi.
- (X – μ) / σ = -0.4 / 0.74 = -0.54.
- Bu z skoru şu anlama geliyor: incelediğimiz veri yani 7.5, ortalamanın -0.54 standart sapma uzağında.
- Z skoru negatif de olabilir, pozitif de.
- Negatif bir z skoru, incelenen veri ortalamadan az demektir.
- Pozitif bir z skoru, incelenen veri ortalamadan çok demektir.
