1’den N’ye Kadar Olan Sayıların Toplamı

  • Kasım 27, 2020

Tamsayılar kesirli veya ondalık bileşenleri olmayan tüm sayılardır. Eğer 1′ den N’ ye kadar olan sayıların toplamını bulmanız gerekiyorsa bu işlemi elinizle her değeri tek tek yapmanıza gerek yoktur. Bunu yapabilmeniz için N * (N + 1) / 2 formülünü kullanmanız yeterlidir, burada N toplamanı bulacağınız sayıların en sonuncusudur. Bu formül sayesinde hızlı, basit bir şekilde N’ye kadar olan sayıların toplamını bulabilirsiniz. daha detaylı inceleme için aşağıdaki adımları takip edebilirsiniz.

1’den N’e Kadar Sayıların Toplamı için Formül Oluşturma

1-den-n-ye-kadar-olan-tam-sayilarin-toplamini-bulma-adim1

1. N tamsayısını tanımlayın. 1’den büyük olan herhangi N tam sayısına kadar olan sayıların toplamı aynı zamanda 1′ den itibaren N tam sayının toplamı olarak ifade edilebilir. Buradaki N kesirli, ondalık ya da negatif sayı olamaz. Sadece pozitif bir tam sayı olmak zorundadır. Ancak bu şartlar altında burada tanımlanan formül kullanılabilir.

  • Örnek olarak 1′ den 200′ e kadar olan tüm tamsayıların toplamını bulalım. Bu örnekte serideki son sayı 200 olduğundan dolayı N sayısı 200’e eşittir, bir başka deyişle bu sayı serideki en büyük sayı olarak da adlandırılabilir.
1-den-n-ye-kadar-olan-tam-sayilarin-toplamini-bulma-adim2

2. N ile (N + 1)’i çarpın ve sonucu 2′ ye bölün. Bulduğunuz N değerini N * (N + 1) / 2 formülünde yerine koyun. Bu denklem size 1 ile N arasındaki tüm sayıların toplamını kısa yoldan bulmanızı sağlayacaktır.

  • Verdiğimiz örnek üzerinden incelemeye devam edersek, N yerine 200 sayısını koyacağız. N * (N + 1) / 2 denkleminde N = 200 sayısını koyarsak, sayıların toplamı: 200 * (200 + 1) / 2
1-den-n-ye-kadar-olan-tam-sayilarin-toplamini-bulma-adim3

3. Cevabı bulmak için değeri yerine koyduğumuz denklemi çözün. 1’den N’ ye kadar olan sayıların toplamının nihai sonucunu bulmak için artık tek yapmanız gereken parantez içindeki toplama, çarpma ve bölme işlemlerini yapmaktır.

  • Örnek üzerinden incelemeye devam edersek :
    • Sayıların toplamı = 200 * (200 + 1)/2
    • Sayıların toplamı = 200 * 201 / 2
    • Sayıların toplamı = 40200 / 2
    • Sayıların toplamı = 20100 (1′ den 200′ e kadar olan sayıların toplamı)
1-den-n-ye-kadar-olan-tam-sayilarin-toplamini-bulma-adim4

4. N * (N + 1) / 2 denkleminin nasıl elde edildiğini anlayın. Verdiğimiz örneğe bir kez daha bakalım.

  • Zihnimizden bu sayı dizisini  (1 + 2 + 4 + 3 … + 199 + 200), 1 – 100 ve 101 – 200 olarak iki gruba ayıralım.
  • Dizinin ilk sayısını (1) son sayısına (200) eklersek 201 elde etmiş oluruz.
  • Yine aynı şekilde dizinin ikinci sayısını (2), sonran birinci sayısına (199) eklersek, yine 201’i bulmuş oluruz.
  • Bu şekilde işlemlere devam edersek 100 tane aynı seriyi buluruz. Yani 100 tane 201’i ifade eder. Bu durumda sayıların toplamı = 100 * 201 = 20100 olarak bulunur.
  • Buradan dikkat edersek 1 – 200 arasındaki sayıların toplamını bulurken 100 sayısı 200’ün yarısı iken 201 sayısı da ilk sayı ile son sayının toplamıdır. Buradan 1’den herhangi bir pozitif sayıya kadar olan sayıların toplamını, son sayının yarısı ile son sayının bir fazlasının çarpımı olarak bulunduğunu görmüş oluruz. Bu tarz yaklaşımlarla çift sayıların toplamı ve tek sayı dizinin toplamı için de formülleri çıkarabilirsiniz.
    • Buradan en son olarak çıkarılan 1′ den N’ ye kadar olan sayıların toplamı (N/2) * (N + 1) / 2, bunu akılda daha kolay kalması açısından basitleştirirsek ilk başta da verdiğimi N * (N + 1) / 2 formülü elde edilmiş olur.

İpuçları:

  • N ya da N+1′ den biri mutlaka çift olacağından dolayı, bu çarpımlar mutlaka 2’ye tam olarak bölünebileceğinden dolayı sayıların toplamı her halukarda tam sayı çıkacaktır.
  • Kısaca: Toplam(1′ den n’ ye kadar) = n(n+1)/2
  • Toplam(a’ dan b’ye)= Toplam(1′ den b’ ye) – Toplam(1’den (a-1)’ e) olarak bulunabilir.

Uyarılar:

  • Negatif sayılarda genellemeler çok zor olmasa da, bu bahsettiğimiz formül 1’den N’ye kadar olan tam sayıların toplamını kapsamaktadır ve burada N en az 1 olmalıdır.

Kaynak: 1 (Erişim: )

Article Categories:
Matematik

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.